สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คำตอบของสมการ
สมการ หมายถึง ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย =
เช่น 1. 35 X 2 = 70
สรุปสมบัติการสมมาตร เมื่อ a และ b เป็นจำนวนใดๆถ้ากำหนดให้ a = b แล้วเราสรุปได้ว่า b = a
2.2 สมบัติการถ่ายทอด สมบัตินี้จะช่วยให้เราสรุปว่าจำนวน 2 จำนวนจาก 3 จำนวนเท่ากันได้ เมื่อ 3 จำนวนเขียนในรูป
ตัวอย่าง กำหนดให้ A + 5 = B และ C = B จากโจทย์เราสามารถใช้สมบัติการถ่ายทอดสรุปได้หรือไม่ ลองพิจารณาดู
แนวคิด โจทย์กำหนดให้ A + 5 = B และ C = B ถ้านักเรียนพิจารณาจากข้อสังเกต ข้อ 2 จะพบว่าจำนวนที่อยู่ตรงกลางไม่ใช่จำนวนเดียวกันแต่จะเป็น B และ C ดังนั้น ให้เราไปใช้สมบัติสมมาตรเข้าไปช่วยจะได้ C = B จะได้เป็น B = C เราจะได้โจทย์ใหม่เป็นดังนี้
กำหนดให้ A + 2 = B แล้ว B = C
จะได้ A + 5 = C ตามข้อสังเกตข้อ 2
สรุปสมบัติการถ่ายทอด ถ้า a, bและ c เป็นจำนวนใด ๆ ถ้ากำหนดให้ a = b และ b = c แล้วสรุปได้ว่า a = c
2.3 สมบัติการบวก สมบัตินี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการ เพราะสามารถที่จะเปลี่ยนรูปแบบของสมการได้โดยผลลัพท์ไม่เปลี่ยน สมบัตินี้สรุปได้ว่าถ้าเรามีจำนวน 2 จำนวนเท่ากัน นำจำนวนอีกจำนวนหนึ่ง มาบวกแต่ละจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพท์จะเท่ากัน เช่น
@ b - 4 = 10
จะได้ b - 4 + 4 = 10 + 4
2. 25 + 12 = 35
3. 25 - 10 = 15
4. 56 X d = d X 56
5. 12 + 34 = 34 + 12
คำตอบของสมการ ได้แก่ จำนวนที่แทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง
สมการที่เป็นจริง หมายถึง สมการซึ่งจำนวนที่อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย = กับจำนวนที่อยู่ทางขวาเท่ากัน
เช่น 1. 35 X 2 = 70
2. 25 + 12 = 37
3. 25 - 10 = 15
สมการที่เป็นเท็จ หมายถึง สมการซึ่งจำนวนที่อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย = กับจำนวนที่อยู่ทางขวาไม่เท่ากัน
เช่น 1. 35 X 2 = 60
2. 25 + 12 = 30
3. 56 X d = d + 56
คำตอบของสมการหมายถึง สมการที่มีการใช้ตัวอักษรแทนจำนวน เรียกตัวอักษรที่แทนจำนวนในสมการว่า ตัวไม่ทราบค่า หรือ ตัวแปร
เช่น 1. 35 X ก = 70
2. 25 + A = 37
3. B - 10 = 15
เรียกจำนวนที่แทนตัวไม่ทราบค่าในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง เช่น 35 X ก = 70
ถ้าแทน ก ด้วย 1 จะได้ 35 X 1 = 35(สมการเป็นเท็จ)
ถ้าแทน ก ด้วย 2 จะได้ 35 X 2 = 70(สมการเป็นจริง)
ดังนั้น 2 คือคำตอบของสมการ
การแก้สมการ คือ การหาจำนวนใด ที่นำมาแทนตัวแปรในสมการ แล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริง
3. 25 - 10 = 15
4. 56 X d = d X 56
5. 12 + 34 = 34 + 12
คำตอบของสมการ ได้แก่ จำนวนที่แทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง
สมการที่เป็นจริง หมายถึง สมการซึ่งจำนวนที่อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย = กับจำนวนที่อยู่ทางขวาเท่ากัน
เช่น 1. 35 X 2 = 70
2. 25 + 12 = 37
3. 25 - 10 = 15
สมการที่เป็นเท็จ หมายถึง สมการซึ่งจำนวนที่อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย = กับจำนวนที่อยู่ทางขวาไม่เท่ากัน
เช่น 1. 35 X 2 = 60
2. 25 + 12 = 30
3. 56 X d = d + 56
คำตอบของสมการหมายถึง สมการที่มีการใช้ตัวอักษรแทนจำนวน เรียกตัวอักษรที่แทนจำนวนในสมการว่า ตัวไม่ทราบค่า หรือ ตัวแปร
เช่น 1. 35 X ก = 70
2. 25 + A = 37
3. B - 10 = 15
เรียกจำนวนที่แทนตัวไม่ทราบค่าในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง เช่น 35 X ก = 70
ถ้าแทน ก ด้วย 1 จะได้ 35 X 1 = 35(สมการเป็นเท็จ)
ถ้าแทน ก ด้วย 2 จะได้ 35 X 2 = 70(สมการเป็นจริง)
ดังนั้น 2 คือคำตอบของสมการ
การแก้สมการ
การแก้สมการ คือ การหาจำนวนใด ที่นำมาแทนตัวแปรในสมการ แล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริง
วิธีการแก้สมการจึงมีหลายวิธี เช่น
1. วิธีการแทนค่าตัวแปร โดยพยายามหาตัวเลขมาแทนค่าตัวแปร แล้วทำให้สมการเป็นจริง วิธีการนี้น่าจะใช้กับสมการง่าย ๆ ไม่ซับซ้อน
2. ใช้สมบัติของความเท่ากันเข้าช่วยในการหาค่าตัวแปร ซึ่งแต่ละสมบัติ มีรายละเอียดดังนี้
2.1 สมบัติการสมมาตร เป็นสมบัติที่ช่วยให้เราสามารถเขียนการเท่ากัน ของจำนวนสองได้ 2 แบบ เช่น b = 5 หรือเขียน 5 = b ได้ หรือกรณีที่โจทย์กำหนด 2a + 5 = 12 เราอาจเขียนเป็น 12 = 2a + 3
ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ a + 2 = 6
แนวคิด เราสามารถสรุปได้ว่า 6 = a + 2
ตัวอย่าง 2 กำหนดให้ k + 1 = y + 1
แนวคิด เราสรุปได้ว่า 1 + y = k + 1
1. วิธีการแทนค่าตัวแปร โดยพยายามหาตัวเลขมาแทนค่าตัวแปร แล้วทำให้สมการเป็นจริง วิธีการนี้น่าจะใช้กับสมการง่าย ๆ ไม่ซับซ้อน
2. ใช้สมบัติของความเท่ากันเข้าช่วยในการหาค่าตัวแปร ซึ่งแต่ละสมบัติ มีรายละเอียดดังนี้
2.1 สมบัติการสมมาตร เป็นสมบัติที่ช่วยให้เราสามารถเขียนการเท่ากัน ของจำนวนสองได้ 2 แบบ เช่น b = 5 หรือเขียน 5 = b ได้ หรือกรณีที่โจทย์กำหนด 2a + 5 = 12 เราอาจเขียนเป็น 12 = 2a + 3
ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ a + 2 = 6
แนวคิด เราสามารถสรุปได้ว่า 6 = a + 2
ตัวอย่าง 2 กำหนดให้ k + 1 = y + 1
แนวคิด เราสรุปได้ว่า 1 + y = k + 1
สรุปสมบัติการสมมาตร เมื่อ a และ b เป็นจำนวนใดๆถ้ากำหนดให้ a = b แล้วเราสรุปได้ว่า b = a
2.2 สมบัติการถ่ายทอด สมบัตินี้จะช่วยให้เราสรุปว่าจำนวน 2 จำนวนจาก 3 จำนวนเท่ากันได้ เมื่อ 3 จำนวนเขียนในรูป
จำนวนที่1 = จำนวนที่2 และจำนวนที่2 = จำนวนที่3
ข้อสังเกต 1. จากบรรทัดสีเขียว จำนวนที่สรุปว่าเท่ากันจะอยู่ซ้ายสุดและขวาสุด
2. จำนวนที่ 2 จะต้องปรากฏถึง 2 ครั้งและอยู่ตรงกลางเท่านั้น เช่น
a = b และ b = c จึงจะ สรุปผลได้ว่า จำนวนที่ 1 = จำนวนที่3
ข้อสังเกต 1. จากบรรทัดสีเขียว จำนวนที่สรุปว่าเท่ากันจะอยู่ซ้ายสุดและขวาสุด
2. จำนวนที่ 2 จะต้องปรากฏถึง 2 ครั้งและอยู่ตรงกลางเท่านั้น เช่น
a = b และ b = c จึงจะ สรุปผลได้ว่า จำนวนที่ 1 = จำนวนที่3
ตัวอย่าง กำหนดให้ A + 5 = B และ C = B จากโจทย์เราสามารถใช้สมบัติการถ่ายทอดสรุปได้หรือไม่ ลองพิจารณาดู
แนวคิด โจทย์กำหนดให้ A + 5 = B และ C = B ถ้านักเรียนพิจารณาจากข้อสังเกต ข้อ 2 จะพบว่าจำนวนที่อยู่ตรงกลางไม่ใช่จำนวนเดียวกันแต่จะเป็น B และ C ดังนั้น ให้เราไปใช้สมบัติสมมาตรเข้าไปช่วยจะได้ C = B จะได้เป็น B = C เราจะได้โจทย์ใหม่เป็นดังนี้
กำหนดให้ A + 2 = B แล้ว B = C
จะได้ A + 5 = C ตามข้อสังเกตข้อ 2
สรุปสมบัติการถ่ายทอด ถ้า a, bและ c เป็นจำนวนใด ๆ ถ้ากำหนดให้ a = b และ b = c แล้วสรุปได้ว่า a = c
2.3 สมบัติการบวก สมบัตินี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการ เพราะสามารถที่จะเปลี่ยนรูปแบบของสมการได้โดยผลลัพท์ไม่เปลี่ยน สมบัตินี้สรุปได้ว่าถ้าเรามีจำนวน 2 จำนวนเท่ากัน นำจำนวนอีกจำนวนหนึ่ง มาบวกแต่ละจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพท์จะเท่ากัน เช่น
@ b - 4 = 10
จะได้ b - 4 + 4 = 10 + 4
นำ 4 มาบวกเข้าทั้งสองข้าง
b = 6
@@ a +5 = 8
จะได้ a + 5 +(-5) = 8 -5
b = 6
@@ a +5 = 8
จะได้ a + 5 +(-5) = 8 -5
นำ -5 มาบวกเข้าทั้งสองข้าง
a + 5 - 5 = 8 - 5
a + 0 = 3
a = 3
ข้อสังเกต จากการที่เรานำตัวที่เท่ากันมาบวกเข้าทั้งสองข้าง จึงทำให้ข้างที่มีตัวแปร เหลือเฉพาะตัวแปร จึงทำให้เราทราบค่าตัวแปรได้
a + 5 - 5 = 8 - 5
a + 0 = 3
a = 3
ข้อสังเกต จากการที่เรานำตัวที่เท่ากันมาบวกเข้าทั้งสองข้าง จึงทำให้ข้างที่มีตัวแปร เหลือเฉพาะตัวแปร จึงทำให้เราทราบค่าตัวแปรได้
2.4 สมบัติการคูณ สมบัตินี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการเช่นเดียวกับสมบัติการบวกเพราะสามารถจะเปลี่ยนรูปแบบของสมการได้โดยผลลัพท์ไม่เปลี่ยน สมบัตินี้สรุปได้ว่า ถ้าเรามีจำนวน 2 จำนวนเท่ากัน นำจำนวน อีกจำนวนหนึ่ง มาคูณแต่ละจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพท์จะเท่ากัน
สรุปสมบัติการคูณ ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ และถ้า a = b แล้วสรุปได้ว่า ac = bc
สรุปการแก้สมการ
1. ในการแก้สมการนั้น มีเป้าหมายเพื่อจะทำให้สมการที่ กำหนดมาให้นั้นเหลืออยู่ในรูปของ
ตัวแปร = ค่าคงที่
เช่น a = 5 , b = 3 เป็นต้น
2. การแก้สมการให้นักเรียนสังเกตดูว่าโจทย์กำหนดมาอย่างไร และเราจะใช้สมบัติอะไรเข้าไปแก้ปัญหาโจทยนั้นๆ
1. ในการแก้สมการนั้น มีเป้าหมายเพื่อจะทำให้สมการที่ กำหนดมาให้นั้นเหลืออยู่ในรูปของ
ตัวแปร = ค่าคงที่
เช่น a = 5 , b = 3 เป็นต้น
2. การแก้สมการให้นักเรียนสังเกตดูว่าโจทย์กำหนดมาอย่างไร และเราจะใช้สมบัติอะไรเข้าไปแก้ปัญหาโจทยนั้นๆ
การแก้โจทย์ปัญหาด้วยสมการ
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
นันธพรมีเงินมากกว่าชุติมา 30 บาท
เราสามารถหาเงินของนันธพรได้ ถ้าเรารู้จำนวนเงินของชุติมา เช่น
ถ้าชุติมามีเงิน 10 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 10 = 40 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน 15 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 15 = 45 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน 40 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 40 = 70 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน M บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + M บาท
จะเห็นว่า เงินของชุติมาเป็นข้อมูลสำคัญที่จะทำให้เราทราบจำนวนเงินของนันทพร
ดังนั้น เมื่อเราไม่ทราบจำนวนเงินของนันธพร เราจึงกำหนดให้เงินของนันธพรเป็นตัวไม่ทราบค่า คือ M
คำตอบจะอยู่ในรูปความสัมพันธ์ของค่าคงที่กับตัวไม่ทราบค่าตามที่โจทย์กำหนดคือ เงินของนันธพร = 30 + M บาท
พ่อมีอายุเป็น 3 เท่าของลูก
เราสามารถหาอายุของพ่อได้ ถ้าเรารู้อายุของลูก
ถ้าลูกอายุ 5 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 5 = 15 ปี
ถ้าลูกอายุ 12 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 12 = 36 ปี
ถ้าลูกอายุ 20 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 20 = 60 ปี
ถ้าลูกอายุ B ปี พ่อจะมีอายุ 3 x B ปี
จะเห็นว่า อายุของลูกเป็นข้อมูลสำคัญที่ทำให้เราทราบอายุของพ่อ
ดังนั้น เมื่อเราไม่ทราบอายุของลูก เราจึงกำหนดอายุของลูกเป็นตัวไม่ทราบค่า คือ B และคำตอบจะอยู่ในรูปความสัมพันธ์ของค่าคงที่กับตัวไม่ทราบค่าตามที่โจทย์กำหนดคืออายุของพ่อ = 3 x B ปี
นันธพรมีเงินมากกว่าชุติมา 30 บาท
เราสามารถหาเงินของนันธพรได้ ถ้าเรารู้จำนวนเงินของชุติมา เช่น
ถ้าชุติมามีเงิน 10 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 10 = 40 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน 15 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 15 = 45 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน 40 บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + 40 = 70 บาท
ถ้าชุติมามีเงิน M บาท นันธพรจะมีเงิน 30 + M บาท
จะเห็นว่า เงินของชุติมาเป็นข้อมูลสำคัญที่จะทำให้เราทราบจำนวนเงินของนันทพร
ดังนั้น เมื่อเราไม่ทราบจำนวนเงินของนันธพร เราจึงกำหนดให้เงินของนันธพรเป็นตัวไม่ทราบค่า คือ M
คำตอบจะอยู่ในรูปความสัมพันธ์ของค่าคงที่กับตัวไม่ทราบค่าตามที่โจทย์กำหนดคือ เงินของนันธพร = 30 + M บาท
พ่อมีอายุเป็น 3 เท่าของลูก
เราสามารถหาอายุของพ่อได้ ถ้าเรารู้อายุของลูก
ถ้าลูกอายุ 5 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 5 = 15 ปี
ถ้าลูกอายุ 12 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 12 = 36 ปี
ถ้าลูกอายุ 20 ปี พ่อจะมีอายุ 3 x 20 = 60 ปี
ถ้าลูกอายุ B ปี พ่อจะมีอายุ 3 x B ปี
จะเห็นว่า อายุของลูกเป็นข้อมูลสำคัญที่ทำให้เราทราบอายุของพ่อ
ดังนั้น เมื่อเราไม่ทราบอายุของลูก เราจึงกำหนดอายุของลูกเป็นตัวไม่ทราบค่า คือ B และคำตอบจะอยู่ในรูปความสัมพันธ์ของค่าคงที่กับตัวไม่ทราบค่าตามที่โจทย์กำหนดคืออายุของพ่อ = 3 x B ปี
ตัวอย่างการเปลี่ยนโจทย์ปัญหาให้อยู่ในรูปสมการ
1. กานดามีอายุ พ ปี อรกัญญามีอายุมากกว่ากานดา 7 ปี ถ้าอรกัญญามีอายุ 15 ปี แล้วกานดามีอายุเท่าไร
สมการคือ พ + 7 = 15
2. ฤดีมาศมีเงิน W บาท พิภัทรามีเงินเป็น 3 เท่าของฤดีมาศ ถ้าพิภัทรามีเงิน 3,900 บาท แล้วฤดีมาศจะมีเงินกี่บาท
สมการคือ 3 x W = 3,900
3. พ่อมีเงิน D บาท แบ่งให้ลูก 3 คน ๆ ละเท่า ๆ กัน ถ้าลูกแต่ละคนได้รับเงินคนละ 800 บาท พ่อมีเงินกี่บาท
สมการ D ÷ 3 = 800
4. นนทวิชสอบได้ ก คะแนน วิชุดาสอบได้คะแนนน้อยกว่านนทวิชอยู่ 9 คะแนน ถ้าวิชุดาสอบได้ 85 คะแนน นนทวิชสอบได้กี่คะแนน
สมการ ก - 9 = 85
5. 2 เท่าของเลขจำนวนหนึ่งลบด้วย 7 ผลลัพธ์เป็น 101 จงหาเลขจำนวนนั้น
โจทย์ปัญหาข้อนี้ โจทย์ไม่ได้กำหนดตัวไม่ทราบค่ามาให้ ดังนั้นเมื่อจะสร้างสมการ เราจึงต้องกำหนดตัวไม่ทราบขึ้นเอง โดย ให้เลขจำนวนหนึ่งเป็น ป
สมการ ( 2 x ป ) - 7 = 101
ดังนั้น ในกรณีที่โจทย์ไม่ได้กำหนดตัวไม่ทราบค่ามาให้ ก่อนที่เราจะสร้างสมการเราต้องกำหนดตัวไม่ทราบค่าก่อนซึ่งส่วนมากจะเป็นจำนวนที่เป็นคำถามของโจทย์
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น